抛物线拱桥 v3 (重生成)

抛物线拱桥——实际背景

抛物线拱桥——实际背景

实际问题 → 数学模型

关键信息

• 开口向下，顶点 (20, 16)

• 两端点 (0, 0) 与 (40, 0)

• 最高点高度：16 米

• 桥面为 x 轴，一端为原点

拓展：拱桥、隧道、喷泉 → 二次函数建模

建立二次函数模型

已知三点坐标，求抛物线标准方程

求解步骤

1. 设抛物线方程 y = ax² + bx + c

2. 代入 (0, 0)，得 c = 0

3. 代入 (40, 0) 与 (20, 16)，列出方程组

4. 解方程组得 a = -1/25，b = 8/5

标准方程

y = - \frac{1}{25} x^{2} + \frac{8}{5} x

顶点式

y = - \frac{1}{25} (x - 20)^{2} + 16

代入验证——三个关键点

代入验证——三个关键点

验证 (0, 0)

x = 0

y = 0 + 0 = 0

验证 (40, 0)

x = 40

y = - 64 + 64 = 0

验证 (20, 16)

x = 20

y = - 16 + 32 = 16

✔ 三个点全部满足 → 公式正确

抛物线拱桥模拟器

类型: interactive (暂不支持)

二次函数应用小测

Q1. 已知某抛物线拱桥的顶点坐标为 (20, 16)，且经过原点 (0, 0)。若该抛物线的解析式为 y = a(x - 20)² + 16，则 a 的值为多少？ 10 分

A. a = 1/25

B. a = -1/25 ✓

C. a = -1/400

D. a = 1/400

解析

因为抛物线经过原点 (0, 0)，代入顶点式 y = a(x - 20)² + 16 得：0 = a(0 - 20)² + 16，即 0 = 400a + 16，解得 a = -16/400 = -1/25。由于抛物线开口向下（拱桥形），a 为负值，所以选 B。选项 A 符号错误，C、D 数值计算有误。

Q2. 承上题，抛物线解析式为 y = -1/25 x² + 8/5 x。现有一艘船，其水面上的最高点横坐标为 x = 10，高度为 4 米，问该点是否在抛物线（拱桥下方）内，能否安全通过？（忽略船宽，仅考虑该点） 10 分

A. 能安全通过，因为代入 x = 10 得 y = 4，正好相等，无碰撞

B. 能安全通过，因为代入 x = 10 得 y = 12，高于船高，留有余量 ✓

C. 不能安全通过，因为代入 x = 10 得 y = 0，低于船高，会碰撞

D. 不能安全通过，因为代入 x = 10 得 y = -12，船在抛物线下方，但桥高不足

解析

将 x = 10 代入 y = -1/25 x² + 8/5 x，计算得 y = -1/25 × 100 + 8/5 × 10 = -4 + 16 = 12（米）。桥面在该点的垂直高度为 12 米，而船高仅 4 米，12 > 4，所以船能安全通过。选项 A 计算错误（y 不是 4），C、D 计算错误且符号误解。

Q3. 已知抛物线拱桥的顶点为 (20, 16)，且经过点 (40, 0)（桥的另一端落点）。求该抛物线的解析式，并计算当水面距离拱顶（顶点）下方 7 米时（即 y = 9），水面宽度（即两交点之间的距离）。写出完整计算过程。 20 分

解析

设抛物线为顶点式 y = a(x - 20)² + 16。代入点 (40, 0)：0 = a(20)² + 16，得 400a = -16，a = -1/25，所以解析式为 y = -1/25(x - 20)² + 16 = -1/25x² + 8/5x（与题干一致）。但注意：若用点 (40, 0) 求 a，实际 a 仍为 -1/25，因为 (40,0) 对称于 (0,0)。接下来令 y = 9：9 = -1/25(x - 20)² + 16，即 7 = -1/25(x - 20)²，得 (x - 20)² = -175，无实数解，说明水面 y=9 高于桥底（最低点 y=0，但顶点在 y=16，实际桥拱开口向下，y=9 在顶点下方，但方程无解是因为抛物线在 y=9 之上，实际上水面 y=9 低于顶点，但高于或低于桥的两个端点？画图可知，抛物线从 y=0 到 y=16 再到 y=0，y=9 两交点存在，计算错误：应为 -7 = 1/25(x - 20)²，但这样得出 (x-20)² = -175，说明原解析式有误。重新检查：顶点 (20,16) 且过 (40,0)，用顶点式：0 = a(40-20)² + 16 = 400a + 16，得 a = -16/400 = -1/25，正确。令 y=9：9 = -1/25(x-20)² + 16 → -7 = -1/25(x-20)² → (x-20)² = 175 → x = 20 ± 5√7，所以两交点 x₁ = 20 - 5√7，x₂ = 20 + 5√7，宽度 = 10√7 ≈ 26.46 米。之前算错，需纠正。因此参考答案为 10√7 米。